Woher kommt die Form der Orbitale?

Woher kommt die Form der Orbitale?

1. Fragestellung:
Warum haben die Orbitale ihre Form und warum halten sich die Elektronen mit 90%iger Wahrscheinlichkeit darin auf?

2. Betrachtung für das 1s-Orbital (0:20):
Legt man einen Atomkern in den Ursprung eines dreidimensionalen Koordinatensystems und „beobachtet“ man die Elektronen, so erkennt man: Sie halten sich häufig in der Nähe des Kerns auf, und je weiter vom Kern man sich entfernt, desto seltener „trifft“ man auf ein Elektron. Als dreidimensionale Figur ergäbe das eine Kugel um den Atomkern, in deren Mitte die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Elektron groß ist, und nach außen immer diffuser und geringer wird.

3. Betrachtung als mathematische Funktion (1:07):
Man kann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch als mathematische Funktion beschreiben. Trägt man in ein zweidimensionales Koordinatensystem an der x-Achse den Radius r, also die Entfernung des Elektrons vom Atomkern an und an der y-Achse diese Wahrscheinlichkeit, auf das Elektron zu treffen (sie wird mit Psi² ψ²bezeichnet, das Quadrat des Ergebnisses der Schrödingergleichung), so ergibt sich als Wahrscheinlichkeits-Radius-Funktion eine Exponentialfunktion wie z.B. e^-x . Ihr Graph fällt zur x-Achse hin ab und nähert sich ihr asymptotisch an, schneidet oder berührt sie aber niemals. Das bedeutet, dass sich das Elektron in jeder Entfernung zum Atomkern aufhalten kann, aber dass die Wahrscheinlichkeit für eine große Entfernung sehr gering wird. Da ein theoretisch unendlich großes Orbital sehr unpraktisch für konkrete Aussagen ist, betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsfunktion einfach nur bis zu dem Radius, bis zu dem sich die Elektronen mit 90 %iger Wahrscheinlichkeit aufhalten. So ergibt sich die Kugelform des s-Orbitals (2:50); der weitere Verlauf des Graphen besagt nur, dass es theoretisch unendlich groß ist. Die Darstellung des s-Orbitals als endliche Kugel nennt man daher auch Grenzflächendarstellung.

4. p-Orbitale (3:17):
Die Schrödingergleichung ergibt für das 2p-Orbital eine Gleichung, die auch eine e-Funktion enthält und auch noch eine cos-Funktion – dies entspricht im Grunde einer nach einem Schnitt mit der x-Achse gedämpften/ auslaufenden Wellenfunktion. Der Graph der Wellenfuktionfunktion schneidet also den Koordinatenursprung, dh., im Kern ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (das Quadrat der Funktion) null. Dann steigt sie mit steigendem Radius an, fällt wieder und nähert sich der x-Achse asymptotisch. In negativer x-Richtung sieht der Graph genauso aus, nur mit umgekehrtem Vorzeichen: vom Ursprung aus fällt der Graph ins Negative, steigt dann wieder und nähert sich der x-Achse asymptotisch von unten an.

Achtung: Im Video wurde aus Gründen der Veranschaulichung kein besonders großer Wert auf die Unterscheidung Wellenfunktion/ Quadrat also Wellenfunktion/ Aufenthaltswahrscheinlichkeit gelegt – es geht hier primär darum, die Form überhaupt zu verstehen.

Betrachtet man nun wieder nur 90% der Wahrscheinlichkeit ergibt sich eine endliche Funktion, die das p-Orbital beschreibt. Seine Grenzflächendarstellung ist die Hantel-Form:
Zwei ovale Kugeln, die sich berühren. (Das wird so im Video gesagt, stimmt aber ganz exakt genommen nicht, da ja durch den Kern unterbrochen – man zeichnet aber nie 2 getrennte Kugeln).

Aufgrund der verschiedenen Vorzeichen der Wellenfunktion hat auch das Orbital zwei Vorzeichen: Man gibt einer Hantel-Hälfte ein positives und der anderen ein negatives Vorzeichen. Zur Unterscheidung wird eine meist dunkel schraffiert.